Geometria

Agora vamos para Geometria. Achou que ia escapar? Essa belezinha é muito importante para seu vestibular.

REGIÃO CONVEXA E NÃO CONVEXA
É uma coisa simples, mas quem faz material didático gosta de escrever difícil. Considere a região um conjunto "R". Dentro desse conjunto há os pontos A e B. Se você ligar os pontos A e B com uma reta, você obtém o segmento AB. Se esse segmento ficar completamente dentro da região, ou seja, for subconjunto de R, a figura é convexa. Se não ficar, ou seja, não for subconjunto de R, a figura é não convexa.
Para simplificar tudo, observe as imagens:





ÂNGULO
Todo mundo sabe o que é um ângulo. Mas você saberia definir, com palavras, o que é um ângulo? Eu ajudo.
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem. Observe a imagem:




REGIÃO ANGULAR
É a região determinada pelos pontos do ângulo, pontos interiores e pontos interiores. Observe a imagem:



BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
É uma semirreta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes (de mesma medida).



GRAUS, MINUTOS E SEGUNDOS
Os ângulos são medidos em graus (1°). As subunidades dos graus são os minutos (1° = 60') e os segundos (1' = 60").
Muito raramente você usará essas subunidades num vestibular, mas é bom garantir que saiba. Vamos aos exemplos.

Vamos reescrever o ângulo de 187,73° utilizando minutos e segundos. Olha que número feio! Se a gente resolver isso, resolve qualquer um.

187,73° = 187 + 0,73°

1° -> 60'
0,73° -> x
x = 60.0,73 = 43,8' <=> 43' + 0,8'

1' -> 60"
0,8'-> y"
y = 48"

Logo, 187,73° é igual a 187°43'48"

Exercícios:
1) Confira se essas regiões são convexas ou não convexas:
a) Circunferência
b) Círculo
c) Coroa Circular

2) Escreva em Graus, Minutos e Segundos
a) 162,88°
b) 197,93°
c) 14,45°

3) Efetue as operações
a) 180°27'38" + 25°30'
b) 20°:18
c) 90° - 38°36'09"
d) 69º51'24" + 4°28'33"
e) 3.(21°22'43")

Razões e Proporções

Nesse post abordaremos razões e proporções. Então abordaremos a queridinha dos estudantes: a regra de três. Vamos lá?

A proporção é uma igualdade entre duas razões. Se a, b, c e d, nessa ordem, formarem uma proporção, então:





Agora, vamos ao mais "difícil" do post:

GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

É um conceito fácil, mas vejo muitos estudantes que, na hora da prova, confundem as duas grandezas. Calma... toca pro pai que ele te ensina.

Duas grandezas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se e somente se o QUOCIENTE entre valores correspondentes é CONSTANTE. Se as grandezas A (a1, a2, a3...) e B (b1, b2, b3) forem DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, então:





Por exemplo: Dona Dolores quer fazer uma jarra de leite com chocolate para seus netos. Na embalagem do achocolatado em pó há um aviso para adicionar duas colheres de sopa do achocolatado em pó a 160mL de leite. Dona Dolores tem uma jarra de 1L. Para alimentar os netinhos, quantas colheres de sopa de achocolatado ela deve adicionar ao litro de leite?

É aí que entra a regra de três. Se 2 colheres de sopa preparam 160 mL, quantas colheres de sopa preparam 1L?




Já duas grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se e somente se o PRODUTO entre vaes correspondentes é CONSTANTE. Se as grandezas A e B forem INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, então:



Por exemplo: Dona Dolores, ao colocar o leite na jarra, percebe que o leite estava azedo. Como seus netinhos chegavam em poucos minutos, e não havia mais leite na casa, Dona Dolores foi correndo para a garagem, entrou no carro, e pisou fundo no acelerador. O destino era o mercado mais próximo, que ficava a 5km de sua casa. Se Dona Dolores fosse a 100km/h, chegaria em 3 minutos (0,05 hora). Se fosse a 50km/h, chegaria em 6 minutos (0,1 hora).
Dona Dolores precisa percorrer 5km, então se você multiplicar a velocidade do carro de Dona Dolores pelo tempo gasto, sempre obterá 5 como resposta.
(Agora, chamando sua atenção para a prova de física: NUNCA MISTURE UNIDADES. Não multiplique km/h por minutos esperando obter km. Você deve converter as unidades para que haja coerência.)

Fácil, né? Então pega uma folhinha e resolve esses exercícios:

1) Se A(4, x, 8) e B(6, 24, y) forem grandezas diretamente proporcionais, calcule o valor de x + y.
2) A grandeza V, que representa valores da velocidade (em m/s) com que uma moto percorre uma certa distância, e a grandeza T, que representa os tempos gastos (em segundos) para percorrer tal distância, são grandezas inversamente proporcionais. Se V(20, 40, 80) e T(60, t1, t2), calcule o valor de t1 + t2.
3) (ENEM - 2014) - Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m³ de concreto. Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de concreto trazida pela betoneira?
a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00
4) Doze operários precisam trabalhar 12 horas por dia para asfaltar uma rua. Para asfaltar a mesma rua, na mesma quantidade de dias, 15 operários teriam de trabalhar quanto tempo por dia?
5) Uma fábrica de cosméticos utiliza-se de uma máquina que rotula 3000 potes em 5 dias, funcionando 8h por dia. Em quantos dias essa mesma máquina rotulará 6000 potes, funcionando 12h por dia?

Aumento, Desconto e Lucro

Neste post serei sucinto com conceitos básicos de matemática financeira.

AUMENTO:
Aumentar um valor x de p% é multiplicá-lo por 1 + p%.
Por exemplo:
João recebe salário de R$ 2300,00. Insatisfeito com tal valor, João pediu um aumento de 15% em seus vencimentos. Quanto João deseja receber?
x + p% de x = x + x.p% = (1 + p%).x
2300 + 15% de 2300 = (1 + 15%).2300
2300 + 15% de 2300 = (1 + 0,15).2300 = R$ 2645,00

DESCONTO:
Diminuir um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por 1 - p%.
Por exemplo:
João não teve seu pedido aceito e decidiu pedir demissão. Ao encontrar uma nova empresa, ofereceram a João um salário com diminuição de 5% do salário que João desejava. Qual foi a oferta salarial?
x - p% de x = x - x.p% = (1 - p%).x
2645 - 5% de 2645 = (1 - 5%).2645
2645 - 5% de 2645 = (1 - 0,05).2645 = R$ 2512,75

LUCRO:
Lucro presume "vantagem" financeira obtida em algum investimento. Podemos definir lucro como a quantia positiva (em porcentagem ou não) que "sobra" de algum investimento. Se comprei uma bola por 5 reais, e vendi por 10, então lucrei 5 reais.
Por exemplo:
João, insatisfeito com a oferta salarial da empresa em que foi candidato a uma vaga de emprego, decide juntar suas economias e investir, sem corretagem, na bolsa de valores. João comprou 50 ações da empresa PX por R$ 18,00 cada. Após três meses de baixa, João vendeu as ações na alta, pelo valor de R$ 24,00 cada uma. Qual foi o lucro obtido?
Custo total de compra das ações: R$ 900,00
Preço total de venda das ações: R$ 1200,00
Lucro = Preço de Venda - Custo da Compra = 1200 - 900 = R$ 300,00
Em porcentagem, podemos dizer que "João lucrou" 33,33% em relação ao quanto gastou para comprar as ações. Isso é dedutível usando o aumento.
x + p% de x = (1 + p%).x
1200 = (1 + p%).900
1200 = 900 + 900p%
300 = 900p%
3 = 9p%
p% = 1/3 = 0,3333333... = 33,33%

Com base nas informações acima, resolva os seguintes exercícios:
1) Quanto é 13275 aumentado de 5%?
2) Maria Clara, com 10 anos, media 150cm. Hoje, aos 18 anos, mede 175cm. Em quantos % Maria teve sua estatura aumentada?
3) Pedro investiu R$ 400,00 na poupança. Depois de 1 mês, Pedro resgatou seu dinheiro, que teve rendimento de 0,63%. Quanto Pedro resgatou?
4) Solange, decidida a economizar mais para poder viajar nas férias, decide que vai, todo mês, colocar 15% de seu salário na poupança. Se Solange recebe R$ 6.500,00, com quanto ela ficará de seu salário?
5) Antônio precisa comprar livros didáticos para estudar para o vestibular. Após achar, na mesma livraria, todos os livros, num valor total de R$ 350,00, Antônio recebe um desconto de 7,75% se pagar os livros à vista. Se Antônio decidir pagar tudo à vista, qual será o valor do desconto e o valor pago?
6) Joaquim, dono de uma fábrica de botões, tem despesas mensais totais no valor de R$ 30,000. Joaquim, no pior mês do ano para sua fábrica, obteve, com as vendas, um valor de R$ 37.723,68. Sabendo disso, responda:
a) Qual foi o lucro obtido por Joaquim?
b) No mesmo mês no ano anterior, Joaquim obteve R$ 34.342,30. Quantos % aumentou o lucro de Joaquim no mês em relação ao ano anterior?

Números Racionais e Porcentagem

Neste post vamos abordar o conjunto dos números racionais e a porcentagem, e operações envolvendo os mesmos.

Um número racional é todo número que pode ser representado por meio de fração entre dois números inteiros. O conjunto dos racionais é representado pela letra Q maiúscula. De uma forma geral, Q = a/b, sendo que a Z e b  Z*.


A porcentagem é uma fração de denominador 100. Então:










Para realizarmos operações com frações, é importante lembrar do conceito de m.m.c (mínimo múltiplo comum). Vamos fatorar os números em fatores primos  - lembra dos números primos? São números naturais que têm apenas dois divisores: 1 e o próprio número. Então são números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13... -, e depois multiplicaremos os fatores, para obtermos o mínimo múltiplo comum.
Por exemplo: Calcule o mínimo múltiplo comum dos números 20, 18 e 8.


20, 18 e 8 são divisíveis por 2. Dividimos e obtemos  10, 9 e 4.
10 e 4 são divisíveis por 2. Dividimos e obtemos 5, 9 e 2.
9 é divisível por 3. Dividimos e obtemos 5, 3 e 1.
3 é divisível por 3. Dividimos e obtemos 5, 1 e 1.
Finalmente, 5 é divisível por 5. Dividimos e obtemos 1, 1 e 1.
Multiplicando os fatores primos, obtemos 360.
Para provar:
20.18 = 360 -> (2.2.5).(2.3.3)
18.20 = 360 -> (2.3.3).(2.2.5)
8.45 = 360 -> (2.2.2).(3.3.5)

O m.m.c é importante pois usaremos para calcular somas e subtrações de frações.
A soma de uma fração (a/b) + (c/d) é igual uma fração com o m.m.c (b, d) como denominador, e os numeradores são a.(m.m.c (b, d)/b) + c.(m.m.c (b,d)/d).
De uma forma mais genérica, a soma de uma fração (a/b) + (c/d) é igual (a.d + c.b)/(b.d).

FRAÇÃO SOBRE FRAÇÃO
Esse é um ponto onde surgem muitas dúvidas. Porém, é um conceito muito simples.
(a/b)/(c/d) = (a/b).(d/c). Mantenha a primeira fração, e inverta a segunda. Em posts futuros, explicarei o motivo.

Com base nas informações contidas no post, resolva esses exercícios:

Números Inteiros e Decimais

Neste post vamos relembrar o que são números inteiros, números decimais, e como fazer operações envolvendo esses números.

Para falarmos de números inteiros, precisamos, antes, falar dos números naturais. O conjunto dos números naturais, representado pela letra maiúscula N, constitui os números inteiros e positivos (0, 1, 2, 3...). O número zero causa controvérsia no conjunto dos naturais pois, apesar de não ser objeto de contagens naturais, tem as mesmas propriedades dos números naturais, mas não é preciso se aprofundar nisso no momento. Por isso, lembre-se dessas notações:
N = {0, 1, 2, 3...}
N* = {1, 2, 3, 4...}


O conjunto dos números naturais obedece duas simples regras:
1) Todo número natural (considerando também um zero), tem um número sucessor.
Por exemplo: O sucessor de 0 é 1, o sucessor de 1 é 2, e assim por diante...
Então, de forma geral, o sucessor de um número natural a é a+1.

2) Todo número natural (exceto o zero), tem um número antecessor.
Por exemplo: O antecessor de 1 é 0, o antecessor de 2 é 1, e assim por diante...
Então, de forma geral, o antecessor de um número natural a é a-1.

Após refrescar a memória, vamos ao conjunto dos números inteiros.

O conjunto dos números inteiros, representado pela letra maiúscula Z, é constituído do conjunto dos números naturais, incluindo o zero, e todos os números inteiros negativos, simétricos aos inteiros positivos (naturais, excluindo o zero).
Um número simétrico - que também pode ser chamado de número oposto - é o número que, representado em uma reta numérica, possui mesma distância da origem em relação a outro número. Esse conceito é facilmente assimilado na imagem abaixo:

 
Na imagem vemos que o zero é a origem da reta. Se pegarmos o número 1 e calcular sua distância da origem, obtemos 1. Se pegarmos o -1 e calcularmos sua distância da origem, também obtemos 1. Então é possível dizer que -1 e o número oposto de 1, assim como o oposto de 2 é -2 e assim vai...
Chamamos a distância entre a origem e um número qualquer da reta de "valor absoluto", o que é assunto para outro post. Vamos aos números decimais.

Números decimais são todos aqueles números representados com um número inteiro, seguido de uma vírgula, seguida de mais números. Por exemplo, o número 1,275.
Todo número decimal pode ser escrito na forma de fração decimal. Por exemplo: o número 1,275 é representado pela fração 1275/1000, que pode ser simplificada, como na imagem abaixo:
 

Agora que já vimos o conjunto dos números inteiros e, também, os números decimais, vamos começar as operações.

Lembretes:
1) (+).(+) = +
2) (+).(-) = -
3) (-).(+) = -
4) (-).(-) = +
5) (+a)-(+b) = a - b
6) (+a)-(-b) = a + b
7) (-a)-(+b) = - a - b
8) (-a)-(-b) = - a + b
9) (+a).(+b) = a.b
10) (-a).(-b) = a.b
11) (-a).(+b) = -(a.b)
12) (+a).(-b) = -(a.b)
13) (+a)÷(+b) = a÷b
14) (-a)÷(-b) = a÷b
15) (+a)÷(-b) = -(a÷b)
16) (-a)÷(+b) = -(a÷b)
17) a + b . c = a + (b.c)
18) (a + b) . c = (a + b) . c


Com base nessas propriedades, resolva esses exercícios.
1) 12 + 2 .3
2) (9 + 6) . 5
3) 10 - 3 ÷ 2
4) (6 - 8) ÷ 2
5) 3 . 8 - 4 . 7
6) 2 . (8 - 4) . 9
7) [8 ÷ (8 - 2)] . 2
8) 8 ÷ [(6 - 4) . 2]
9) 0,31 + 2 . 0,039
10) 5 ÷ 2 + 2 ÷ 5
11) 8026 ÷ 8
12) 622,26 ÷ 3,6
13) (FUVEST - Alterada) - Num bolão, sete amigos ganharam vinte e um milhões, sessenta e três mil e quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, quanto cada um recebeu em reais?
14) Joana manchou com tinta três algarismos de uma conta que ela tinha feito, como mostra a figura

Qual é o valor da soma dos três algarismos manchados?

Sobre o blog

Cansado de ver amigos que sempre me pedem ajuda em matemática porque simplesmente não conseguem encarar sozinhos os livros didáticos, decidi criar um blog e um canal no YouTube para compartilhar com todos como a matemática é incrivelmente maravilhosa e compreensível.
Abordarei, nos próximos posts, toda a ementa do ensino médio, focando nos vestibulares. Se você quer estudar matemática sem se preocupar, o lugar é aqui. Seja bem-vindo!