Neste post serei sucinto com conceitos básicos de matemática financeira.
AUMENTO:
Aumentar um valor x de p% é multiplicá-lo por 1 + p%.
Por exemplo:
João recebe salário de R$ 2300,00. Insatisfeito com tal valor, João pediu um aumento de 15% em seus vencimentos. Quanto João deseja receber?
x + p% de x = x + x.p% = (1 + p%).x
2300 + 15% de 2300 = (1 + 15%).2300
2300 + 15% de 2300 = (1 + 0,15).2300 = R$ 2645,00
DESCONTO:
Diminuir um valor x de p% equivale a multiplicá-lo por 1 - p%.
Por exemplo:
João não teve seu pedido aceito e decidiu pedir demissão. Ao encontrar uma nova empresa, ofereceram a João um salário com diminuição de 5% do salário que João desejava. Qual foi a oferta salarial?
x - p% de x = x - x.p% = (1 - p%).x
2645 - 5% de 2645 = (1 - 5%).2645
2645 - 5% de 2645 = (1 - 0,05).2645 = R$ 2512,75
LUCRO:
Lucro presume "vantagem" financeira obtida em algum investimento. Podemos definir lucro como a quantia positiva (em porcentagem ou não) que "sobra" de algum investimento. Se comprei uma bola por 5 reais, e vendi por 10, então lucrei 5 reais.
Por exemplo:
João, insatisfeito com a oferta salarial da empresa em que foi candidato a uma vaga de emprego, decide juntar suas economias e investir, sem corretagem, na bolsa de valores. João comprou 50 ações da empresa PX por R$ 18,00 cada. Após três meses de baixa, João vendeu as ações na alta, pelo valor de R$ 24,00 cada uma. Qual foi o lucro obtido?
Custo total de compra das ações: R$ 900,00
Preço total de venda das ações: R$ 1200,00
Lucro = Preço de Venda - Custo da Compra = 1200 - 900 = R$ 300,00
Em porcentagem, podemos dizer que "João lucrou" 33,33% em relação ao quanto gastou para comprar as ações. Isso é dedutível usando o aumento.
x + p% de x = (1 + p%).x
1200 = (1 + p%).900
1200 = 900 + 900p%
300 = 900p%
3 = 9p%
p% = 1/3 = 0,3333333... = 33,33%
Com base nas informações acima, resolva os seguintes exercícios:
1) Quanto é 13275 aumentado de 5%?
2) Maria Clara, com 10 anos, media 150cm. Hoje, aos 18 anos, mede 175cm. Em quantos % Maria teve sua estatura aumentada?
3) Pedro investiu R$ 400,00 na poupança. Depois de 1 mês, Pedro resgatou seu dinheiro, que teve rendimento de 0,63%. Quanto Pedro resgatou?
4) Solange, decidida a economizar mais para poder viajar nas férias, decide que vai, todo mês, colocar 15% de seu salário na poupança. Se Solange recebe R$ 6.500,00, com quanto ela ficará de seu salário?
5) Antônio precisa comprar livros didáticos para estudar para o vestibular. Após achar, na mesma livraria, todos os livros, num valor total de R$ 350,00, Antônio recebe um desconto de 7,75% se pagar os livros à vista. Se Antônio decidir pagar tudo à vista, qual será o valor do desconto e o valor pago?
6) Joaquim, dono de uma fábrica de botões, tem despesas mensais totais no valor de R$ 30,000. Joaquim, no pior mês do ano para sua fábrica, obteve, com as vendas, um valor de R$ 37.723,68. Sabendo disso, responda:
a) Qual foi o lucro obtido por Joaquim?
b) No mesmo mês no ano anterior, Joaquim obteve R$ 34.342,30. Quantos % aumentou o lucro de Joaquim no mês em relação ao ano anterior?
quinta-feira, 26 de maio de 2016
quarta-feira, 25 de maio de 2016
Números Racionais e Porcentagem
Neste post vamos abordar o conjunto dos números racionais e a porcentagem, e operações envolvendo os mesmos.
Um número racional é todo número que pode ser representado por meio de fração entre dois números inteiros. O conjunto dos racionais é representado pela letra Q maiúscula. De uma forma geral, Q = a/b, sendo que a
Z e b Z*.
A porcentagem é uma fração de denominador 100. Então:
Para realizarmos operações com frações, é importante lembrar do conceito de m.m.c (mínimo múltiplo comum). Vamos fatorar os números em fatores primos - lembra dos números primos? São números naturais que têm apenas dois divisores: 1 e o próprio número. Então são números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13... -, e depois multiplicaremos os fatores, para obtermos o mínimo múltiplo comum.
Por exemplo: Calcule o mínimo múltiplo comum dos números 20, 18 e 8.
20, 18 e 8 são divisíveis por 2. Dividimos e obtemos 10, 9 e 4.
10 e 4 são divisíveis por 2. Dividimos e obtemos 5, 9 e 2.
9 é divisível por 3. Dividimos e obtemos 5, 3 e 1.
3 é divisível por 3. Dividimos e obtemos 5, 1 e 1.
Finalmente, 5 é divisível por 5. Dividimos e obtemos 1, 1 e 1.
Multiplicando os fatores primos, obtemos 360.
Para provar:
20.18 = 360 -> (2.2.5).(2.3.3)
18.20 = 360 -> (2.3.3).(2.2.5)
8.45 = 360 -> (2.2.2).(3.3.5)
O m.m.c é importante pois usaremos para calcular somas e subtrações de frações.
A soma de uma fração (a/b) + (c/d) é igual uma fração com o m.m.c (b, d) como denominador, e os numeradores são a.(m.m.c (b, d)/b) + c.(m.m.c (b,d)/d).
De uma forma mais genérica, a soma de uma fração (a/b) + (c/d) é igual (a.d + c.b)/(b.d).
FRAÇÃO SOBRE FRAÇÃO
Esse é um ponto onde surgem muitas dúvidas. Porém, é um conceito muito simples.
(a/b)/(c/d) = (a/b).(d/c). Mantenha a primeira fração, e inverta a segunda. Em posts futuros, explicarei o motivo.
Com base nas informações contidas no post, resolva esses exercícios:
Um número racional é todo número que pode ser representado por meio de fração entre dois números inteiros. O conjunto dos racionais é representado pela letra Q maiúscula. De uma forma geral, Q = a/b, sendo que a
Z e b Z*.A porcentagem é uma fração de denominador 100. Então:
Para realizarmos operações com frações, é importante lembrar do conceito de m.m.c (mínimo múltiplo comum). Vamos fatorar os números em fatores primos - lembra dos números primos? São números naturais que têm apenas dois divisores: 1 e o próprio número. Então são números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13... -, e depois multiplicaremos os fatores, para obtermos o mínimo múltiplo comum.
Por exemplo: Calcule o mínimo múltiplo comum dos números 20, 18 e 8.
20, 18 e 8 são divisíveis por 2. Dividimos e obtemos 10, 9 e 4.
10 e 4 são divisíveis por 2. Dividimos e obtemos 5, 9 e 2.
9 é divisível por 3. Dividimos e obtemos 5, 3 e 1.
3 é divisível por 3. Dividimos e obtemos 5, 1 e 1.
Finalmente, 5 é divisível por 5. Dividimos e obtemos 1, 1 e 1.
Multiplicando os fatores primos, obtemos 360.
Para provar:
20.18 = 360 -> (2.2.5).(2.3.3)
18.20 = 360 -> (2.3.3).(2.2.5)
8.45 = 360 -> (2.2.2).(3.3.5)
O m.m.c é importante pois usaremos para calcular somas e subtrações de frações.
A soma de uma fração (a/b) + (c/d) é igual uma fração com o m.m.c (b, d) como denominador, e os numeradores são a.(m.m.c (b, d)/b) + c.(m.m.c (b,d)/d).
De uma forma mais genérica, a soma de uma fração (a/b) + (c/d) é igual (a.d + c.b)/(b.d).
FRAÇÃO SOBRE FRAÇÃO
Esse é um ponto onde surgem muitas dúvidas. Porém, é um conceito muito simples.
(a/b)/(c/d) = (a/b).(d/c). Mantenha a primeira fração, e inverta a segunda. Em posts futuros, explicarei o motivo.
Com base nas informações contidas no post, resolva esses exercícios:
Números Inteiros e Decimais
Neste post vamos relembrar o que são números inteiros, números decimais, e como fazer operações envolvendo esses números.
Para falarmos de números inteiros, precisamos, antes, falar dos números naturais. O conjunto dos números naturais, representado pela letra maiúscula N, constitui os números inteiros e positivos (0, 1, 2, 3...). O número zero causa controvérsia no conjunto dos naturais pois, apesar de não ser objeto de contagens naturais, tem as mesmas propriedades dos números naturais, mas não é preciso se aprofundar nisso no momento. Por isso, lembre-se dessas notações:
N = {0, 1, 2, 3...}
N* = {1, 2, 3, 4...}
O conjunto dos números naturais obedece duas simples regras:
1) Todo número natural (considerando também um zero), tem um número sucessor.
Por exemplo: O sucessor de 0 é 1, o sucessor de 1 é 2, e assim por diante...
Então, de forma geral, o sucessor de um número natural a é a+1.
2) Todo número natural (exceto o zero), tem um número antecessor.
Por exemplo: O antecessor de 1 é 0, o antecessor de 2 é 1, e assim por diante...
Então, de forma geral, o antecessor de um número natural a é a-1.
Após refrescar a memória, vamos ao conjunto dos números inteiros.
O conjunto dos números inteiros, representado pela letra maiúscula Z, é constituído do conjunto dos números naturais, incluindo o zero, e todos os números inteiros negativos, simétricos aos inteiros positivos (naturais, excluindo o zero).
Um número simétrico - que também pode ser chamado de número oposto - é o número que, representado em uma reta numérica, possui mesma distância da origem em relação a outro número. Esse conceito é facilmente assimilado na imagem abaixo:
Na imagem vemos que o zero é a origem da reta. Se pegarmos o número 1 e calcular sua distância da origem, obtemos 1. Se pegarmos o -1 e calcularmos sua distância da origem, também obtemos 1. Então é possível dizer que -1 e o número oposto de 1, assim como o oposto de 2 é -2 e assim vai...
Chamamos a distância entre a origem e um número qualquer da reta de "valor absoluto", o que é assunto para outro post. Vamos aos números decimais.
Números decimais são todos aqueles números representados com um número inteiro, seguido de uma vírgula, seguida de mais números. Por exemplo, o número 1,275.
Todo número decimal pode ser escrito na forma de fração decimal. Por exemplo: o número 1,275 é representado pela fração 1275/1000, que pode ser simplificada, como na imagem abaixo:
Agora que já vimos o conjunto dos números inteiros e, também, os números decimais, vamos começar as operações.
Lembretes:
1) (+).(+) = +
2) (+).(-) = -
3) (-).(+) = -
4) (-).(-) = +
5) (+a)-(+b) = a - b
6) (+a)-(-b) = a + b
7) (-a)-(+b) = - a - b
8) (-a)-(-b) = - a + b
9) (+a).(+b) = a.b
10) (-a).(-b) = a.b
11) (-a).(+b) = -(a.b)
12) (+a).(-b) = -(a.b)
13) (+a)÷(+b) = a÷b
14) (-a)÷(-b) = a÷b
15) (+a)÷(-b) = -(a÷b)
16) (-a)÷(+b) = -(a÷b)
17) a + b . c = a + (b.c)
18) (a + b) . c = (a + b) . c
Com base nessas propriedades, resolva esses exercícios.
1) 12 + 2 .3
2) (9 + 6) . 5
3) 10 - 3 ÷ 2
4) (6 - 8) ÷ 2
5) 3 . 8 - 4 . 7
6) 2 . (8 - 4) . 9
7) [8 ÷ (8 - 2)] . 2
8) 8 ÷ [(6 - 4) . 2]
9) 0,31 + 2 . 0,039
10) 5 ÷ 2 + 2 ÷ 5
11) 8026 ÷ 8
12) 622,26 ÷ 3,6
13) (FUVEST - Alterada) - Num bolão, sete amigos ganharam vinte e um milhões, sessenta e três mil e quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, quanto cada um recebeu em reais?
14) Joana manchou com tinta três algarismos de uma conta que ela tinha feito, como mostra a figura
Qual é o valor da soma dos três algarismos manchados?
Para falarmos de números inteiros, precisamos, antes, falar dos números naturais. O conjunto dos números naturais, representado pela letra maiúscula N, constitui os números inteiros e positivos (0, 1, 2, 3...). O número zero causa controvérsia no conjunto dos naturais pois, apesar de não ser objeto de contagens naturais, tem as mesmas propriedades dos números naturais, mas não é preciso se aprofundar nisso no momento. Por isso, lembre-se dessas notações:
N = {0, 1, 2, 3...}
N* = {1, 2, 3, 4...}
O conjunto dos números naturais obedece duas simples regras:
1) Todo número natural (considerando também um zero), tem um número sucessor.
Por exemplo: O sucessor de 0 é 1, o sucessor de 1 é 2, e assim por diante...
Então, de forma geral, o sucessor de um número natural a é a+1.
2) Todo número natural (exceto o zero), tem um número antecessor.
Por exemplo: O antecessor de 1 é 0, o antecessor de 2 é 1, e assim por diante...
Então, de forma geral, o antecessor de um número natural a é a-1.
Após refrescar a memória, vamos ao conjunto dos números inteiros.
O conjunto dos números inteiros, representado pela letra maiúscula Z, é constituído do conjunto dos números naturais, incluindo o zero, e todos os números inteiros negativos, simétricos aos inteiros positivos (naturais, excluindo o zero).
Um número simétrico - que também pode ser chamado de número oposto - é o número que, representado em uma reta numérica, possui mesma distância da origem em relação a outro número. Esse conceito é facilmente assimilado na imagem abaixo:
Na imagem vemos que o zero é a origem da reta. Se pegarmos o número 1 e calcular sua distância da origem, obtemos 1. Se pegarmos o -1 e calcularmos sua distância da origem, também obtemos 1. Então é possível dizer que -1 e o número oposto de 1, assim como o oposto de 2 é -2 e assim vai...
Chamamos a distância entre a origem e um número qualquer da reta de "valor absoluto", o que é assunto para outro post. Vamos aos números decimais.
Números decimais são todos aqueles números representados com um número inteiro, seguido de uma vírgula, seguida de mais números. Por exemplo, o número 1,275.
Todo número decimal pode ser escrito na forma de fração decimal. Por exemplo: o número 1,275 é representado pela fração 1275/1000, que pode ser simplificada, como na imagem abaixo:
Agora que já vimos o conjunto dos números inteiros e, também, os números decimais, vamos começar as operações.
Lembretes:
1) (+).(+) = +
2) (+).(-) = -
3) (-).(+) = -
4) (-).(-) = +
5) (+a)-(+b) = a - b
6) (+a)-(-b) = a + b
7) (-a)-(+b) = - a - b
8) (-a)-(-b) = - a + b
9) (+a).(+b) = a.b
10) (-a).(-b) = a.b
11) (-a).(+b) = -(a.b)
12) (+a).(-b) = -(a.b)
13) (+a)÷(+b) = a÷b
14) (-a)÷(-b) = a÷b
15) (+a)÷(-b) = -(a÷b)
16) (-a)÷(+b) = -(a÷b)
17) a + b . c = a + (b.c)
18) (a + b) . c = (a + b) . c
Com base nessas propriedades, resolva esses exercícios.
1) 12 + 2 .3
2) (9 + 6) . 5
3) 10 - 3 ÷ 2
4) (6 - 8) ÷ 2
5) 3 . 8 - 4 . 7
6) 2 . (8 - 4) . 9
7) [8 ÷ (8 - 2)] . 2
8) 8 ÷ [(6 - 4) . 2]
9) 0,31 + 2 . 0,039
10) 5 ÷ 2 + 2 ÷ 5
11) 8026 ÷ 8
12) 622,26 ÷ 3,6
13) (FUVEST - Alterada) - Num bolão, sete amigos ganharam vinte e um milhões, sessenta e três mil e quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, quanto cada um recebeu em reais?
14) Joana manchou com tinta três algarismos de uma conta que ela tinha feito, como mostra a figura
Qual é o valor da soma dos três algarismos manchados?
Sobre o blog
Cansado de ver amigos que sempre me pedem ajuda em matemática porque simplesmente não conseguem encarar sozinhos os livros didáticos, decidi criar um blog e um canal no YouTube para compartilhar com todos como a matemática é incrivelmente maravilhosa e compreensível.
Abordarei, nos próximos posts, toda a ementa do ensino médio, focando nos vestibulares. Se você quer estudar matemática sem se preocupar, o lugar é aqui. Seja bem-vindo!
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